矩形的判定（八年级数形矩形性质一节，学生掌握四点，解题变得简单）

导读：矩形作为特殊的平行四边形，它除了具有一般平行四边形的性质外，还因为它的角及对角线的特殊性，它还有特殊的性质。在学习矩形性质时，学生应掌握以下四点。　　一、理解矩形

　　矩形作为特殊的平行四边形，它除了具有一般平行四边形的性质外，还因为它的角及对角线的特殊性，它还有特殊的性质。在学习矩形性质时，学生应掌握以下四点。

　　一、理解矩形定义。

　　定义:有一个角是直角的平行四边是矩形。

　　该定义中有两个关键词:直角、平行四边形

　　它包括两层含义:一是平行四边形+一个直角可得矩形。二是矩形是特殊的平行四边形，且有一个角是90°。

　　矩形的定义既说明了什么是矩形，也是判断四边形是否为矩形的一种方法。

　　例1、将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为( )

　　A，31° B，28° C，62° D，56°

　　分析:解决该题的关键词语有两个:①矩形，图中有90°的角，有平行线。②折叠，图中有重合的角，即相等的角。

　　然后在图中标出先后求出的角即可求解。

　　∴∠DFE为56°

　　二、掌握矩形的性质，并能利用矩形性质解决问题。

　　1、边:对边平行且相等(与平行四边形相同)

　　2、角:四个角都是直角(与平行四边形不同)

　　3、对角线:相等，且互相平分(平行四边形只有互相平分)，两条对角线把矩形分成四个等腰三角形。

　　例1(中考，荆门)如图，在矩形ABCD中，(AD>AB)，点E是BC上一点，DE=DA，AF丄DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )

　　A△AFD≌△DCE，B，AF=1/2AD

　　C，AB=AF ， D，BE=AD－DF

　　解:∵四边形ABCD为矩形。

　　∴DA//BC，∠C=90°

　　∴∠ADF=∠DEC

　　∵AF丄DE

　　∴∠AFD=90°

　　∴∠AFD=∠C，又∵∠ADF=∠DEC，DE=DA

　　∴△AFD≌△DCE

　　由A正确可得C，D都正确。

　　而B不一定正确。因为当AF=1/2AD时，∠ADF应等于30°，当题中所给已知条件无法求出度数。

　　例2、如图，E，F分别是矩形ABCD的对角线

　　AC和BD上的点，且AE=DF，求证BE=CF

　　分析:①当图中有对角线时，要想到矩形的对角线相等且互相平分。②证明线段相等最常用的方法是证两线段所在的两个三角形全等。

　　证明:∵四边形ABCD为矩形

　　∴OB=OC=OA=OD

　　∵AE=DF

　　∴OE=OF

　　在△BOE和△COF中

　　OE=OF，∠BOE=∠COF，OB=OC

　　∴△BOE≌△COF

　　∴BE=CF

　　三、掌握直角三角形斜边上的中线性质定理，并能运用该定理求线段的长度。

　　直角三角形斜边上的中线性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　该定理的根据:根据矩形的对角线相等且互相平分，将矩形沿对角线切去一半后，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　如图:O为Rt△ABC斜边AC的中点，则斜边上的中线OB=1/2AC

　　例1、(2019，黄石)如图，在△ABC中，∠B=50°，CD丄AB于点D，∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD=CF，

　　则∠ACD+∠CED=( )

　　A，125° B，145° C，175° D，190°

　　分析:①读已知条件时把图中能直接求出的角标出来，可得∠CED=115°

　　②题中△ADC为直角三角形，F为斜边AC中点，连接DF，则可得DF=CF=CD，

　　从而得∠ACD=60°，

　　所以∠ACD+∠CED=60°+115°=175°。

　　例2、(中考，绵阳)如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC和BD交于点O，

　　AC丄AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为( )

　　A，3cm B，4cm C，5cm D，8cm

　　分析:由平行四边形ABCD的周长是26cm

　　可得AD+AB=13cm，且OB=OD

　　由△AOD的周长比△AOB的周长多3cm

　　可得(OA+AD+OD)－(OA+AB+OB)=3

　　即AD－AB=3，又因为AD+AB=13解方程组可得AD=BC=8cm，AB=5cm。

　　又因为E是Rt△ABC斜边上的中点，所以

　　AE=1/2BC=1/2×8=4cm。

　　四、矩形性质在实际中的应用。

　　因为矩形中有直角，常与勾股定理相结合求线段的长度。

　　例1:如图:将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F点处，已知CE=3cm，

　　AB=8cm，求图中阴影部分的面积

　　分析:①先在图中标出已知线段、能直接求出的线段和相等的线段。

　　②要求阴影面积需求BF长，设BF长为xcm，则AF=AD=BC=(x+4)cm，再由勾股定理即可求解。

　　解:∵四边形ABCD为矩形，

　　∴AD=BC，AB=DC，∠B=∠C=90°

　　∵AB=8cm，CE=3Cm。

　　由题意可得DE=EF=5cm，AD=BC=AF。

　　在Rt△ECF中，EF=5，EC=3

　　∴FC=√(EF²－EC²)=√(5²－3²)=4

　　设BF长为xcm，则AF长为(x+4)cm

　　在Rt△ABF中，AB=8，BF=x，则AF=x+4

　　由勾股定理得AB²+BF²=AF²

　　即:8²+x²=(x+4)²

　　解得x=6

　　所以阴影部分面积=(8×6+3×4)÷2=30cm²

　　答:阴影部分面积为30cm²